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By Miller G. A.

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Example text

T + s, x) = Φ t, Φ(s, x) f¨ ur alle x ∈ X, Φ(s, x) ∈ X und t, s, t + s ∈ I. Falls I ein reelles Intervall ist, spricht man von einem kontinuierlichen dynamischen System und auch von dem Fluss in dem Phasenraum mit den Flusslinien oder Trajektorien, die durch die Kurven {Φ(t, x) | t ∈ I} f¨ ur festes x bestimmt werden. Die Vorstellung ist, dass im Laufe der Zeit t ∈ I der Punkt x in die Position wandert, die durch Φ(t, x) bestimmt wird, wobei jeweils t = 0 der urspr¨ unglichen Position entspricht bzw.

Klein, Das Erlanger Programm, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Akad. Verlagsges. 34 W. 1 (reeller affiner Raum, reelle affine Gruppe) Der reelle n-dimensionale affine Raum An ist erk¨art als die Punktmenge des Rn zusammen mit der zweistelligen Verkn¨ upfung An × An → Rn , die je zwei Punkten P, Q den −− → −− → Verbindungsvektor P Q als Differenz P Q = Q − P zuordnet. Wir unterscheiden also zwischen Punkten einerseits und Vektoren andererseits, wenngleich beide als Elemente des Rn agesehen werden k¨ onnen.

7 ist nun ersichtlich, daß der Punkt (x, y, z) in dieselbe Endlage gelangt, ob man ihn zuerst der Transformation St und dann noch der Transformation ur jeden Punkt Sτ unterwirft oder auf ihn nur die Transformation St+τ wirken l¨aßt. F¨ (x, y, z) gilt die Gleichung (x, y, z)St Sτ = (x, y, z)St+τ . 8) Man schreibt sie gew¨ ohnlich unter Fortlassung von (x, y, z) in der Form St Sτ = St+τ . , S. 4) Damit wird das formuliert, was man in moderner Terminologie den Fluss eines Vektorfeldes nennt. Wenn ein stetig differenzierbares Vektorfeld V auf einem offenen Teil des Rn gegeben ist, dann ist die vektorielle Differentialgleichung x˙ = dx = V (x) dt lokal eindeutig l¨osbar durch eine L¨ osung x(t), wenn man zus¨atzlich eine sogenannte Anfangsbedingung x(0) = y0 vorgibt.

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